你相信你的直覺嗎？——從操場跑道看數學規律

文/闕特‧居批梯博士(發表於2025/2/14)

當你在操場上跑步時，有沒有想過外圈比內圈長多少呢？如果你每次往外移動一個跑道，你的跑步距離會增加多少呢？這其實是一個數學問題，而且它的答案可能會顛覆你的直覺！

【操場跑道的數學規律】

我們來看一個標準的200公尺操場，每條跑道的寬度是1.2公尺。操場的直線部分內外圈長度相同，差距主要來自轉彎的部分。把這四個轉彎連起來，它們就組成了一個完整的圓。假設最內圈的半徑是 r，圓周長可以用公式計算：

圓周長=2πr

其中，π(圓周率)約等於 3.14，所以圓周長可以寫成：

2 x 3.14 x r = 6.28r

如果我們往外移動一條跑道，半徑會增加1.2公尺，此時新的圓周長是：

6.28 x (r+1.2)

所以，外圈比內圈多出的距離是：

6.28 x 1.2 =7.536 ≈ 7.5 公尺

這代表，每當你往外跨一條跑道，你每圈就要多跑約7.5公尺！

400公尺操場呢？

如果是400公尺的操場，跑道寬度仍然是1.2公尺，那麼每往外跨一條跑道，距離會變長、變短，還是不變呢？答案是不變！這是因為圓周長的變化量只與半徑的變化有關，而不管原來的半徑多大，增加的長度都是一樣的，也就是 6.28 x 1.2 = 7.5 公尺。

【地球vs.地球儀：讓你意想不到的答案】

來想像一個有趣的情境：

你用一條繩子圍繞著一個小小的地球儀一圈。你用另一條繩子圍繞著真正的地球一圈。現在，假設我們讓兩條繩子都往外移動，讓它們和表面保持2公分的距離。請問哪一條繩子需要增加更長的長度？許多人可能會直覺地認為：「當然是地球上的那條繩子增加得比較多！」但實際上，兩條繩子增加的長度是一樣的！因為繩子的長度增加公式是：

2π x 增加的距離

這裡，增加的距離是2公分，也就是0.02公尺，所以：

6.28 x 0.02 = 0.1256公尺

無論是地球儀還是地球，增加的長度都是大約12.56公分。

【直覺vs.數學】

為什麼這個答案讓人驚訝？因為我們的直覺習慣於「越大越影響深遠」，但數學告訴我們，有些規律是不變的。數學的本質就是幫助我們看穿現象，找到世界的底層邏輯。所以，下次當你覺得某個答案「理所當然」時，不妨用數學來檢驗一下，也許你會發現，數學比你的直覺更可靠！